Worked example: Derivativen af ln(√x) ved brug af kædereglen

I denne artikel vil vi gennemgå, hvordan man kan differentiere funktionen ln(√x) ved hjælp af kædereglen. Vi vil udføre trin for trin instruktioner og forklaringer for at hjælpe dig med at forstå processen bag differentiering af denne funktion.

Introduktion

Funktionen ln(√x) er en sammensat funktion, der involverer den naturlige logaritmefunktion (ln) og kvadratrødsfunktionen (√x). Differentieringsprocessen involverer anvendelse af kædereglen, som er en metode til at differentiere sammensatte funktioner. Ved at følge de følgende trin vil du kunne differentiere ln(√x) korrekt.

Trin for trin instruktioner

Start med at skrive den oprindelige funktion: ln(√x).
Anvend kædereglen ved at differentiere den ydre funktion og derefter den indre funktion.
Den ydre funktion er ln(x), og dens afledte er 1/x.
Den indre funktion er √x, og dens afledte er 1/(2√x).
Anvend kædereglen ved at gange den afledte af den ydre funktion med den indre funktion og den afledte af den indre funktion.
Indsæt de afledte funktioner i det samlede udtryk og forenkle det så vidt muligt.

Fortsat udførlig forklaring

For at differentiere ln(√x) skal vi først differentiere den ydre funktion ln(x) og derefter differentiere den indre funktion √x. Ved at anvende kædereglen kan vi kombinere disse to differentieringer for at få differentialet af den oprindelige funktion.

Vi ved, at differentialet af ln(x) er 1/x og differentialet af √x er 1/(2√x). Ved at anvende kædereglen multiplicerer vi disse to differentierede funktioner sammen. Dette giver os følgende udtryk:

(1/x) * (1/(2√x)).

For at forenkle dette udtryk kan vi kombinere brøkerne ved at multiplicere tællere og nævnere. Vi får derfor:

1/(2x√x).

Dette er differentialet af ln(√x) ved hjælp af kædereglen.

Afsluttende overvejelser

At kunne differentiere sammensatte funktioner er vigtigt i matematik og videnskabelige discipliner. Kædereglen giver os en metode til at håndtere sådanne funktioner og finde deres afledte. Ved at følge trinene i denne artikel kan du differentiere funktioner som ln(√x) korrekt ved at anvende kædereglen.

Husk, at øvelse gør mester, så fortsæt med at øve dig og udforske forskellige sammensatte funktioner for bedre at forstå differentieringsprocessen.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er den generelle formel for den derivativ af ln(x)?

Den generelle formel er (ln(x)) = 1/x.

Hvad er symbolikken bag ln(x)?

Symbolikken ln(x) står for den naturlige logaritme af x, hvor x er et positivt tal.

Hvad er den generelle formel for den derivativ af √x?

Den generelle formel er (√x) = 1/(2√x).

Hvordan kan vi bruge kædereglen til at finde den derivativ af ln(√x)?

Vi kan bruge kædereglen ved at betragte √x som en funktion i sig selv og derefter differentiere det.

Hvordan differentieres ln(√x) ved hjælp af kædereglen?

Ved hjælp af kædereglen differentieres ln(√x) ved først at differentiere det indre udtryk, hvilket er √x, og multiplicere det med den derivativ af ln-funktionen, hvilket er 1/√x.

Hvordan forenkler udtrykket sig efter differentiation?

Efter differentiering forenkler udtrykket sig til 1/(2x).

Hvilket udtryk repræsenterer den afledte funktion?

Den afledte funktion er repræsenteret ved 1/(2x).

Hvad er betydningen af den afledte funktion?

Betydningen af den afledte funktion er, at den giver os ændringshastigheden af ln(√x) på ethvert punkt x.

Hvilke egenskaber har den afledte funktion 1/(2x)?

Den afledte funktion 1/(2x) har egenskaberne at være positiv for alle positive værdier af x og negativ for alle negative værdier af x.

Hvordan kan vi bruge den afledte funktion til at finde ekstremværdier?

Vi kan bruge den afledte funktion til at finde ekstremværdier ved at finde de punkter, hvor den afledte funktion skifter fortegn eller når den afledte funktion er lig med nul.

Andre populære artikler: Perimeter og areal | Klasse 7 matematik (Indien) • Mega Millions Jackpot Sandsynlighed • Testforberedelse: Sådan kan Khan Academy hjælpe med din ACT-forberedelse • Bodhisattva Avalokitesvara: Guanyin • Sn1 mekanisme: kinetik og substrat • Simulation: Pixar in a Box • Investering i menneskelig kapital: En vej til succes • Nth term of an arithmetic progression • Opsamling på lektien: Offentlig politik og økonomisk vækst • Den vertikale asymptote af den naturlige logaritme • Charlemagne og Carolingian-genoplivningen • Vilkår for et t-interval for et gennemsnit (øvelse) • Advanced function types i College Algebra • Alternating series test • Sammenligning af toppunkter for kvadratiske funktioner • Shear stress og strain • The Rosetta Stone • Relations og funktioner | Klasse 11 matematik (Indien) • Mål for spredning: variationsspænd, varians • Supernova (supernovae)