Secondular Partialderivat Test – En dybdegående gennemgang

Den anden delvis afledte test, også kendt som den anden afledede test, er et vigtigt værktøj inden for multivariat kalkulus. Det er en metode til at bestemme, om et kritisk punkt for en funktion i to variabler er et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller et sadelpunkt. I denne artikel vil vi gå i dybden med teorien bag denne test og se nærmere på dens anvendelser og begrænsninger.

Introduktion til den anden delvis afledte test

Den anden delvis afledte test er baseret på de delvise afledede af en funktion med to variabler. Lad os antage, at vi har en funktion f(x, y), hvor både f og dens først delvis afledte er kontinuerte. Når vi ønsker at analysere et kritisk punkt (dvs. et punkt hvor begge partielle afledede er nul), kan vi bruge den anden delvis afledede test til at bestemme punktets natur.

Anvendelse af den anden delvis afledte test

For at anvende den anden delvis afledte test skal vi kigge på de andenordens delvise afledede af funktionen f(x, y). Specifikt skal vi se på følgende fire andenordens delvise afledede: fxx(x, y), fyy(x, y), fxy(x, y) og fyx(x, y). Bemærk, at fxy(x, y) og fyx(x, y) simpelthen er de samme andenordens delvise afledede, da rækkefølgen af variablerne ikke betyder noget for parvis homogene andenordens afledede.

Lad os nu kigge på betingelserne for de forskellige tilfælde baseret på værdien af de andenordens delvise afledede:

Tilfælde 1: Både fxx(x, y) og fyy(x, y) er positive

I dette tilfælde vil kritiske punkter, hvor både den anden delvise afledede i x-retningen og den anden delvise afledede i y-retningen er positive, være en lokal minimum. Dette skyldes, at funktionen er konveks i begge retninger, og derfor har et minimum på det pågældende kritiske punkt.

Tilfælde 2: Både fxx(x, y) og fyy(x, y) er negative

I dette tilfælde vil kritiske punkter, hvor både den anden delvise afledede i x-retningen og den anden delvise afledede i y-retningen er negative, være et lokalt maksimum. Dette skyldes, at funktionen er konkav i begge retninger, og derfor har et maksimum på det pågældende kritiske punkt.

Tilfælde 3: fxx(x, y) og fyy(x, y) har forskellige tegn

I dette tilfælde vil kritiske punkter, hvor den anden delvise afledede i x-retningen og den anden delvise afledede i y-retningen har forskellig tegn, være et sadelpunkt. Dette skyldes, at funktionen skifter konveksitet på det pågældende kritiske punkt.

Tilfælde 4: En af fxx(x, y) eller fyy(x, y) er nul, og den anden andenordens delvise afledede har sin egen værdi

I dette tilfælde er den anden andenordens delvise afledede ikke tilstrækkelig til at konkludere noget om punktets art. Yderligere analyse er nødvendig for at bestemme, om det er et minimum, maksimum eller et sadelpunkt.

Begrænsninger ved den anden delvis afledte test

Den anden delvis afledte test er et nyttigt værktøj til at bestemme puntoptegnelserne af multivariable funktioner, men den har også sine begrænsninger. For det første kan testen kun fortælle os om punkternes natur i nærheden af et kritisk punkt. Det er ikke nødvendigvis en global vurdering af hele funktionen.

Derudover kan den anden delvis afledte test ikke bruges til at bestemme naturen af punkter på randen af definitionsmængden. I sådanne tilfælde er yderligere analyse nødvendig. Det er også vigtigt at nævne, at testen kun gælder for funktioner med to variabler.

Konklusion

Den anden delvis afledte test er et vigtigt værktøj inden for kalkulus, der giver os muligheden for at bestemme punkternes natur i en funktion med to variabler. Ved at analysere de andenordens delvise afledede kan vi afgøre, om et kritisk punkt er et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller et sadelpunkt. Mens testen har sine begrænsninger, er den stadig en værdifuld metode til at analysere funktioner i flere variable og give os større dybdeindblik i deres struktur.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er den second partial derivative test i multivariable calculus?

Den second partial derivative test er en metode i multivariable calculus, der bruges til at bestemme, om et kritisk punkt i en funktion er et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller et saddelpunkt. Testen involverer beregning af andenordens partielle afledede og evaluering af en determinant kaldet diskriminanten.

Hvordan beregnes de andenords partielle afledede i den second partial derivative test?

For at beregne de andenords partielle afledede i den second partial derivative test anvender man kædereglen gentagne gange. Man differentierer først funktionen med hensyn til en variabel og derefter med hensyn til en anden variabel. Dette gøres for at finde de partielle andenordens afledede, såsom fxx, fyy og fxy.

Hvad betyder de forskellige symboler i den second partial derivative test, såsom fxx, fyy og fxy?

I den second partial derivative test repræsenterer fxx den andenords partielle afledede af funktionen med hensyn til x to gange. Fyy repræsenterer den andenords partielle afledede af funktionen med hensyn til y to gange, og fxy repræsenterer den andenords partielle afledede af funktionen med hensyn til x og y.

Hvad er diskriminanten i den second partial derivative test?

Diskriminanten i den second partial derivative test er en determinant, der dannes ved hjælp af fxx, fyy og fxy. Diskriminanten er defineret som D = fxx * fyy – (fxy)^2. Denne værdi bruges til at bestemme karakteren af et kritisk punkt og om det er et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller et saddelpunkt.

Hvad betyder det, hvis diskriminanten er positiv i den second partial derivative test?

Hvis diskriminanten er positiv i den second partial derivative test, betyder det, at fxx og fyy har samme fortegn, og at fxx * fyy er større end (fxy)^2. Dette indikerer, at kritisk punktet er enten et lokalt minimum eller et lokalt maksimum i funktionen.

Hvad betyder det, hvis diskriminanten er negativ i den second partial derivative test?

Hvis diskriminanten er negativ i den second partial derivative test, betyder det, at fxx og fyy har modsatte fortegn, og at fxx * fyy er mindre end (fxy)^2. Dette indikerer, at kritisk punktet er et saddelpunkt i funktionen.

Hvad betyder det, hvis diskriminanten er nul i den second partial derivative test?

Hvis diskriminanten er nul i den second partial derivative test, betyder det, at fxx * fyy er lig med (fxy)^2. Dette indikerer, at testen er uafklaret, og man kan ikke konkludere om karakteren af kritisk punktet ved hjælp af denne test alene.

Hvad er konklusionen af den second partial derivative test, hvis fxx er positiv og diskriminanten er positiv?

Hvis fxx er positiv og diskriminanten er positiv i den second partial derivative test, betyder det, at kritisk punktet er et lokalt minimum i funktionen. Dette skyldes, at de andenords partielle afledede og diskriminanten er positive.

Hvad er konklusionen af den second partial derivative test, hvis fxx er negativ og diskriminanten er positiv?

Hvis fxx er negativ og diskriminanten er positiv i den second partial derivative test, betyder det, at kritisk punktet er et lokalt maksimum i funktionen. Dette skyldes, at fxx er negativ og fyy er positiv, hvilket fører til en negativ determinant.

Hvad er konklusionen af den second partial derivative test, hvis fxx er negativ og diskriminanten er negativ?

Hvis fxx er negativ og diskriminanten er negativ i den second partial derivative test, betyder det, at kritisk punktet er et saddelpunkt i funktionen. Dette skyldes, at fxx og fyy har modsatte fortegn og en negativ determinant.

Andre populære artikler: Absolutværdien af komplekse tal • Flow og perfusion | Blodtryk • Insertion sort pseudocode • Mean (forventet værdi) af en diskret tilfældig variabel • Predicting bond type (metals vs. nonmetals) • Faktorer og multipler – En dybdegående forståelse • Cross sections of 3D objects (praksis) • Great Depression (praksis) • Minimumløn og prislofter • Markov-kæder: Oprindelsen • Identificering af supplerede, komplementære og vertikale vinkler (øvelse) • Hvad er modsætninger af tal? • Patterns | Pre-algebra | Matematik • Sample essay 1 med feedback fra optagelsesudvalget • Standard reduktion potentials • LM-del af IS-LM modellen | IS-LM • Connecting f, f og f grafisk • Graphing exponential functions • Tragedien om det fælles bedste – En dybdegående undersøgelse • Inertial Mass vs. Gravitational Mass