Proof of special case of lHôpitals rule

LHôpitals rule er en vigtig matematisk metode, der bruges til at beregne grænseværdier for brøker, hvor både tæller og nævner går mod nul. I denne artikel vil vi undersøge og bevise en speciel case af lHôpitals rule.

Introduktion til lHôpitals rule

Normalt kan grænseværdier af brøker beregnes ved at erstatte tælleren og nævneren med deres derivative og derefter tage grænseværdien af den nye brøk. LHôpitals rule tillader brugen af denne metode i tilfælde, hvor tælleren og nævneren begge går mod nul.

Den generelle formulering af lHôpitals rule er:

Hvis tælleren f(x) og nævneren g(x) er differentiable i et interval omkring a (bortset fra måske i a) og g(x) ≠ 0 for et hvert x i intervallet (bortset fra måske i a), og hvis både f(x) og g(x) går mod nul, når x går mod a, så gælder:

LHôpitals rule:Hvisf(x)ogg(x)er differentiable i et interval omkringa, og at bådef(a)ogg(a)er 0 eller ±∞ og at g(x) ≠ 0 i intervallet (bortset fra måske i a), så gælder:

hvis grænsenf(x) / g(x)somxgår modaer af formen0/0eller ±∞/±∞, så er grænsen af deres derivative,f(x) / g(x)også grænsen aff(x) / g(x)nårxgår moda.

Proof of special case of lHôpitals rule

I denne artikel vil vi nu bevise en speciel case af lHôpitals rule. Lad os sige, at vi har en funktionf(x), der er differentiable i et interval omkringa. Hvis bådef(a)ogf(a)er 0 eller ±∞, og hvis det gælder, atlim_x→ag(x) = 0, oglim_x→ag(x) = 0, hvorg(x)er differentiable omkringa.

For at bevise den specielle case af lHôpitals rule, vil vi starte med at anvende Maclaurin-rækker tilf(x)ogg(x). Maclaurin-rækken er en metode til at udtrykke en funktion som en uendelig serie. Daf(x)ogg(x)er differentiable, kan de approksimeres omkringaved hjælp af Maclaurin-rækken.

Vi kan da skrive:

f(x) = f(a) + f(a)(x-a) + O((x-a)²)

Og

g(x) = g(a) + g(a)(x-a) + O((x-a)²)

HvorO((x-a)²)betegner de termer, der indeholder højere potenser afx-aend (x-a)², og som derfor bidrager mindre til approksimationen, jo tættere vi er påa.

Ved at substituere Maclaurin-rækkerne forf(x)ogg(x)i brøkenf(x) / g(x), får vi:

f(x) / g(x) = (f(a) + f(a)(x-a) + O((x-a)²)) / (g(a) + g(a)(x-a) + O((x-a)²))

Vi kan nu forenkle brøken ved at dividere både tælleren og nævneren medx-a:

f(x) / g(x) = [(f(a)/(x-a)) + f(a) + O(x-a)] / [(g(a)/(x-a)) + g(a) + O(x-a)]

Ved at tage grænsen, nårxgår moda, ser vi, at Maclaurin-rækkenes termer, der indeholder(x-a), går mod 0:

lim_x→a[(f(a)/(x-a)) + f(a) + O(x-a)] = f(a)

Og

lim_x→a[(g(a)/(x-a)) + g(a) + O(x-a)] = g(a)

Derfor har vi:

lim_x→af(x) / g(x) = f(a) / g(a)

Og dette beviser den specielle case af lHôpitals rule for funktionerf(x)ogg(x), der er differentiable omkringa.

Den specielle case af lHôpitals rule er en nyttig metode til beregning af grænseværdier i matematik og anvendes ofte inden for differentialregning og integration. Ved at bruge denne regel korrekt kan man simplificere komplekse brøker og finde grænseværdier mere præcist.

Vi håber, at denne artikel har været hjælpsom og informativ i forståelsen og anvendelsen af den specielle case af lHôpitals rule.

Andre populære artikler: En kort historie om kulturerne i Asien • Gennemsnitlig ændringshastighed – Problemanalyse: tabel • Area – Løsning af problemer med rumfang • Intro til ligninger • Carbohydrater – Epimerer, fællesnavne • Titration af en stærk syre med en stærk base • Overview of neuron function • Forståelse af forhold mellem ideer • Quicksort algoritme oversigt | Quick sort • Short, medium, and long term goals • Moles og molar masse (øvelse) • Amplitude: Hvad er det og hvordan finder man det? • Lessons | Praxis Core Reading | Test prep • Inferencer om synspunkter | Quick guide • Complex splitting | Proton NMR • Lion Capital, Ashokan Pillar at Sarnath • Neo-Konfucianisme • Dilatationspunkter | Dilatationer • The hypothalamus and pituitary gland • Multiplicering af binomer: område-modellen