Multivariable Chain Rule, Simple version

Den multivariable chain rule, også kendt som vektor-kædereglen, er en vigtig metode inden for vektorregning, der tillader os at differentiere funktioner af flere variable. Denne artikel vil dykke ned i denne kæderegels simple version og forklare, hvordan den kan anvendes til at beregne derivativer i multivariable funktioner.

Introduktion til kædereglen

Den multivariable chain rule er en udvidelse af den en-dimensionelle kædereglen, der anvendes til at differentiere sammensatte funktioner. I den simple version af kædereglen har vi en funktion, som afhænger af en enkelt variabel, der i sig selv er en funktion af en eller flere variable.

Den matematiske formel for den simple version af kædereglen er som følger:

dy/dx = (∂y/∂u) * (du/dx)

Her eryvores y-variabel,uer vores u-variabel, ogxer vores x-variabel. (∂y/∂u) repræsenterer den partielle afledede af y i forhold til u, og (du/dx) er den almindelige afledede af u i forhold til x.

Anvendelse af den simple kædereglen

Lad os se på et eksempel for at illustrere, hvordan den simple kædereglen fungerer. Lad os sige, at vi har en funktion, hvor y = u^2, og u = x + 3. Vi ønsker at beregne den partielle afledede af y i forhold til x.

Først differentierer vi u i forhold til x ved hjælp af den almindelige afledede. Da u = x + 3, bliver den almindelige afledede 1.

Nu differentierer vi y i forhold til u ved hjælp af den partielle afledede. Da y = u^2, bliver den partielle afledede af y i forhold til u 2u.

Derefter multiplicerer vi de to afledede sammen for at finde den partielle afledede af y i forhold til x:

dy/dx = (∂y/∂u) * (du/dx) = 2u * 1 = 2(x + 3)

Så den partielle afledede af y i forhold til x er 2 gange x + 6.

Opsummering

Den simple version af multivariable chain rule er et nyttigt værktøj i vektorregning, der tillader os at differentiere sammensatte funktioner af flere variable. Ved at differentiere hver variabel separat og derefter multiplicere resultaterne sammen kan vi finde den ønskede partielle afledede.

Ved at forstå og anvende den multivariable chain rule kan vi løse komplekse problemstillinger inden for matematik, fysik og ingeniørvirksomhed. Det er vigtigt at være fortrolig med denne metode for at kunne foretage præcise beregninger og analysere multivariable funktioner i dybden.

Vi håber, at denne artikel har givet dig en god introduktion til den simple version af multivariable chain rule og dens anvendelser. Husk altid at øve dig og udforske flere eksempler for at forbedre din forståelse af emnet.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er multivariable chain rule?

Multivariable chain rule er en regel i differentialregning som bruges til at differentiere sammensatte funktioner med flere variable. Den giver os en metode til at finde den partielle afledede af en funktion ved hjælp af kædereglen.

Hvordan anvendes multivariable chain rule i vektoranalyse?

I vektoranalyse bruges multivariable chain rule til at differentiere sammensatte funktioner af vektorer. Den tillader os at beregne den gradient af en sammensat funktion ved hjælp af kædereglen for vektorer.

Hvornår bruges multivariable chain rule?

Multivariable chain rule bruges, når vi har en funktion af flere variable, som er resultatet af en sammensætning af forskellige funktioner. Det kan være nyttigt, når vi ønsker at beregne den partielle afledede af en sådan funktion.

Hvad er forskellen mellem multivariable chain rule og den almindelige chain rule?

Den almindelige chain rule gælder kun for funktioner af én variabel, mens multivariable chain rule gælder for funktioner af flere variable. Multivariable chain rule tager hensyn til ændringer i alle variable, mens den almindelige chain rule kun tager hensyn til ændringer i én variabel.

Hvordan kan multivariable chain rule udtrykkes matematisk?

Matematisk kan multivariable chain rule udtrykkes som følger: Hvis vi har en sammensat funktion f(g(x)), hvor g(x) er en funktion af variablene x1, x2,…,xn og f(t) er en funktion af variablene t1, t2,…,tm, så er den partielle afledede af f(g(x)) med hensyn til xj givet ved:∂(f(g(x)))/∂xj = ∑(k=1 til m) ∂f(t)/∂tk ∂gk(x)/∂xj, hvor k er en indeks, der løber fra 1 til m.

Kan du give et eksempel på anvendelse af multivariable chain rule?

Ja, lad os sige vi har en funktion f(x,y,z) = x^2 + 2xy + z^2, og vi ønsker at beregne ∂f/∂x og ∂f/∂y ved hjælp af multivariable chain rule. Vi kan gøre følgende: ∂f/∂x = ∂(x^2 + 2xy + z^2)/∂x = 2x + 2y∂x/∂x + 0 = 2x + 2y,∂f/∂y = ∂(x^2 + 2xy + z^2)/∂y = 0 + 2x∂y/∂y + 0 = 2x.

Kan multivariable chain rule anvendes til at finde den gradient af en funktion?

Ja, multivariable chain rule kan bruges til at finde den gradient af en funktion. Gradienten er en vektor, der indeholder alle de partielle afledede af en funktion. Ved hjælp af multivariable chain rule kan vi finde de partielle afledede og samle dem i en vektor, der udgør gradienten.

Hvilke regler gælder for anvendelse af multivariable chain rule?

Når man anvender multivariable chain rule, skal man huske på følgende regler:1. Differentier de indre funktioner først og derefter de ydre funktioner.2. De indre funktioners partielle afledede skal multipliceres med de ydre funktioners partielle afledede.3. Tilknyt hver indre funktion til dens tilsvarende ydre funktion i kæden.

Hvorfor er multivariable chain rule vigtig i matematik og fysik?

Multivariable chain rule er vigtig i matematik og fysik, fordi den tillader os at differentiere komplicerede funktioner med flere variable. Den er afgørende for at beregne ændringer i funktioner og finde ekstremværdier, hvilket er vigtige i mange anvendelser inden for matematik og fysik.

Hvad er forskellen mellem multivariable chain rule og total afledet?

Forskellen mellem multivariable chain rule og total afledet er, at multivariable chain rule beregner den partielle afledede af en sammensat funktion med flere variable, mens total afledet beregner den totale ændring i en funktion som følge af ændringer i alle dens variable. Total afledet tager hensyn til alle variable, mens multivariable chain rule kun tager hensyn til ændringer i en variable ad gangen.

Andre populære artikler: Psykoaktive stoffer: Hallucinogener • Quadratiske ordproblemer (faktorform) (øvelse) • Testing solutions to equations • The SAT Math Test: Passport to Advanced Math • Art of Asia | Kunst og humaniora • Multiple linse systemer | Linser • Seated Figure (Djenné folk) • Lines | Geometry (all content) | Math • Analyse af en funktion med dens afledede • Translation (praksis) • Finding HCF – En dybdegående metode til at finde største fælles divisor • Balancering af individuel frihed med offentlig orden og sikkerhed • Modern ways of studying the brain • Republicanernes dominans: Politik i 1920erne • Runding til nærmeste 10 på talaksen • Bioenergetik: Omdannelsen af fri energi i levende systemer • Differential Calculus – En dybdegående introduktion til differentiationsregning • Identificer punkter, linjer, linjesegmenter, stråler og vinkler (øvelse) • Glossary: Film grammar • Olowe of Ise, Veranda Post of Enthroned King and Senior Wife