Law of sines: at finde en vinkel | Trigonometri

Law of sines, også kendt som sinusrelationen, er en vigtig matematisk regel inden for trigonometri, der bruges til at beregne forholdet mellem siderne og vinklerne i en vilkårlig trekant. I denne artikel vil vi fokusere på at løse en vinkel ved hjælp af sinusrelationen.

Hvad er sinusrelationen?

Sinusrelationen er en fundamental relation, der forbinder forholdet mellem sidernes længder og vinklerne i en trekant. Denne relation er baseret på det forhold, at forholdet mellem en sidelængde og sinusværdien af den modsatte vinkel er konstant.

Stated simply, the Law of Sines states that in any triangle ABC:

(a / sin(A)) = (b / sin(B)) = (c / sin(C))

Her repræsenterer a, b og c længden af siderne i trekanten, mens A, B og C er de modsatte vinkler til siderne a, b og c, henholdsvis.

Hvordan løser man en vinkel ved hjælp af sinusrelationen?

Når vi vil finde en vinkel i en trekant ved hjælp af sinusrelationen, er det vigtigt at have mindst én kendt sidelængde og den modsatte vinkel. Ved at kende disse oplysninger kan vi derefter bruge sinusrelationen til at beregne størrelsen af den ukendte vinkel.

Lad os antage, at vi har en trekant ABC med kendte værdier for siden a og vinklen A. Vi ønsker at finde størrelsen af vinkel B.

Vi kan starte med at anvende sinusrelationen:

(a / sin(A)) = (b / sin(B))

Da vi kender værdien af a og vinklen A, kan vi indsætte disse værdier i relationen:

(a / sin(A)) = (b / sin(B))

Nu kan vi isolere den ukendte vinkel B ved at omarrangere ligningen:

sin(B) = (b * sin(A)) / a

Til sidst finder vi vinklen B ved at anvende arcsin (sinus^{-1}) funktionen:

B = arcsin((b * sin(A)) / a)

Vi kan bruge en lommeregner eller computerprogram til at beregne denne værdi.

En eksempelopgave

Lad os se på et eksempel for at klargøre processen. Vi har en trekant ABC med sidelængden a = 5 cm og vinklen A = 40 grader. Vi ønsker at finde vinklen B.

Vi kan starte med at anvende sinusrelationen:

(5 cm / sin(40 grader)) = (b / sin(B))

Vi kan nu omarrangere ligningen for at isolere vinkel B:

sin(B) = (b * sin(40 grader)) / 5 cm

Vi kan nu bruge en lommeregner eller computerprogram til at beregne værdien af sin(B). Lad os antage, at sin(B) er cirka 0,65.

Vi kan nu bruge arcsin-funktionen til at finde vinklen B:

B = arcsin(0,65) ≈ 39,2 grader

Derfor er størrelsen af vinklen B cirka 39,2 grader.

Resumé

At løse en vinkel ved hjælp af sinusrelationen kan være nyttigt i mange trigonometriske problemer. Ved at kende mindst én kendt sidelængde og den tilsvarende modsatte vinkel kan vi bruge sinusrelationen til at beregne størrelsen af den ukendte vinkel. Ved at isolere den ukendte vinkel og anvende arcsin-funktionen kan vi finde løsningen numerisk.

Husk, at sinusrelationen kun fungerer i forhold til sidelængder og de modsatte vinkler. Hvis du vil beregne sidelængderne ud fra vinklerne i en trekant, skal du bruge cosinusrelationen eller tangentrelationen.

Vi håber, at denne artikel har været informativ og hjælpsom i forståelsen af, hvordan man kan anvende sinusrelationen til at finde en vinkel i en trekant.

Andre populære artikler: Programmering med variabler | AP CSP • Løsning af lineære systemer ved substitution (gammel metode) • Duccio, Maestà • Cuber og kvadratrod | Klasse 8 matematik (Indien) • Evaluering af udtryk med to variable • Positive og negative associationer i scatterplot • Ligamenter, sener og led: En dybdegående forståelse • Multiplicering og Dividere • Fischer esterification • En anmeldelse af US Customary-enheder for vægt (oz) • Hear/here og accept/except – Hvad er forskellen? • Arbejdsopgave: Måling af enthalpi af reaktion ved hjælp af kaffekopkalorimetri • Maori-mødehuset | Polynesien • Reading box plots (også kaldet bokse- og stikplot) • Mikroøkonomi: Grundlæggende økonomiske begreber • Diagnostik af malaria | Malaria • Mensuration | Matematik (NSDC) – Dansk • The Battle of Gettysburg • Why distance is area under velocity-time line • An Introduction to Photography in the Early 20th Century