Introduktion til Partielle Afledede

I denne artikel vil vi udforske emnet partielle afledede og se nærmere på, hvordan man finder dem. Vi vil også diskutere, hvad partielle afledede fortæller os, samt hvordan de anvendes i sammenhæng med partielle differentialligninger. Her vil vi tage udgangspunkt i undervisningsmaterialet fra Khan Academy for at give en grundig og indsigtsfuld forståelse af emnet.

Grundlæggende om partielle afledede

Partielle afledede er en afgrund af differentialregning, der giver os mulighed for at beregne ændringer i en funktion i forhold til flere variabler på samme tid. Mens den klassiske afledede anvendes til at beregne ændringer i en funktion i forhold til én variabel, tillader de partielle afledede os at tage hensyn til ændringer i flere variabler samtidig.

For at beregne en partielt afledt funktion tager vi udgangspunkt i den almindelige afledede funktion og behandler de andre variabler som konstante. Dette resulterer i en ny funktion, hvor kun én variabel varierer, og de andre er blevet konstante. Ved at gentage denne proces for hver variabel får vi de partielle afledede funktioner for hver variabel.

For at finde en partielt afledt notation gør vi brug af delvise differentialnotater. Hvis vi har en funktion f(x, y), skriver vi den partielle afledte af f i forhold til x som ∂f / ∂x og den partielle afledte af f i forhold til y som ∂f / ∂y.

Hvad fortæller partielle afledede os?

Partielle afledede giver os information om, hvordan en funktion ændrer sig, når en variabel ændres, mens de andre variabler holdes konstante. De fortæller os om retningen og den proportionale ændring i funktionen.

For eksempel, hvis vi har en funktion, der beskriver temperaturen i et rum som funktion af både tid og placering, kan en partielt afledt i forhold til tid give os information om, hvordan temperaturen ændrer sig over tid, mens vi holder placeringen konstant. På samme måde kan en partielt afledt i forhold til placering give os information om, hvordan temperaturen ændrer sig på forskellige placeringer, mens tiden holdes konstant.

Hvordan finder vi partielle afledede?

Der er flere metoder til at finde partielle afledede, herunder den direkte tilgang og den implicitte tilgang. Den direkte tilgang indebærer direkte brug af den partielle afledede definition og reglerne for afledning. Den implicitte tilgang bruger derimod implicit afledning og kædereglen.

For at finde de partielle afledede ved den direkte tilgang, tager vi den partielle afledede af hver variabel en ad gangen og behandler de andre variabler som konstante. Dette giver os en række partielle afledede funktioner for hver variabel.

Den implicitte tilgang involverer brug af kædereglen, når vi har en funktion, der beskrives ved en implicit ligning. Vi differentierer begge sider af ligningen med hensyn til hver variabel og løser derefter for de partielle afledede.

Partielle afledede og partielle differentialligninger

Partielle afledede er grundlæggende for forståelsen af partielle differentialligninger. Partielle differentialligninger er ligninger, der indeholder partielle afledede af en ukendt funktion, og de bruges til at beskrive fysiske, biologiske og økonomiske fænomener.

Eksempler på partielle differentialligninger inkluderer varmeledningsevne, elektromagnetiske felter og strømning af væsker. Ved at bruge partielle afledede kan vi finde løsninger til disse ligninger og dermed forstå og forudsige, hvordan fænomener udvikler sig over tid og rum.

Afrunding

Partielle afledede er vigtige værktøjer inden for matematik og fysik. De tillader os at analysere og forstå ændringer i funktioner i forhold til flere variabler samtidig. Ved at bruge partielle afledede kan vi løse problemer inden for en bred vifte af områder og opnå en dybere forståelse for den verden, vi lever i.

Andre populære artikler: Ten-story Stone Pagoda of Gyeongcheonsa Temple • Common and systematic naming: iso-, sec-, and tert- prefixes • Proof of the quadratic formula | Algebra • Rembrandt, Self-Portrait • Yayoi period – en introduktion • Welcome to Personal Finance • Normalvektor fra planligning • Introduktion • Introduktion • Multiplicering af komplekse tal • Genetik, træk og miljø – Hvad påvirker vores træk? • Chapter 11: Konkurs omstrukturering • Rembrandt, Self-Portrait • Eksempel på beregning af en overfladeintegral – del 1 • Hvad er en computer? | Computere • The fundamental theorem of calculus og akkumulationsfunktioner • Bernini, Ekstase af Sankt Teresa • Elasticitet og skatteindtægter • Calculating the mean (practice) • O2 og CO2 opløselighed | Gasudveksling