Integration ved substitution (øvelse)

Integration ved substitution er en vigtig teknik inden for differentialregning og integralregning. Det er en metode til at omskrive et integral ved at erstatte variablen med en ny variabel. Dette kan gøre integralet mere håndterligt og lettere at løse. I denne artikel vil vi udforske integration ved substitution og præsentere nogle eksempler på øvelser for at hjælpe dig med at mestre teknikken.

Introduktion til integration ved substitution

Integration ved substitution er en metode til at løse bestemte og ubestemte integraler ved at ændre variablen. Ideen er at erstatte en kompleks funktion med en ny variabel, som gør integralet lettere at beregne. Dette kan være særligt nyttigt, når man støder på integralet af en sammensat funktion.

Den grundlæggende formel for integration ved substitution er:

∫ f(g(x)) g(x) dx = ∫ f(u) du

Hvoru = g(x)er den nye variabel, ogdu = g(x) dxer differentialen af den nye variabel. Ved at erstatte variablen og differentialelementet med de tilsvarende udtryk, kan vi omskrive integralet til et nyt integral, som er lettere at beregne.

Praksisøvelser for integration ved substitution

Lad os nu se på nogle praksisøvelser for at illustrere anvendelsen af integration ved substitution.

Øvelse 1: Bestemt integral

Bestem integralet:

∫ (2x+1)^3 dx

Først skal vi identificere den indre funktion, som eru = 2x+1. For at kunne erstatte variablen, skal vi også beregne differentialen af den nye variabel, som erdu = 2 dx.

Ved at erstatte variablen og differentialelementet i integralet får vi:

∫ u^3 (1/2) du

Dette kan vi nu løse ved at hæve potensen og integrere:

(1/2) ∫ u^3 du = (1/2)(1/4) u^4 + C = (1/8) u^4 + C

Endelig skal vi erstatteumed2x+1for at få det endelige resultat:

(1/8) (2x+1)^4 + C

Dette er det bestemte integral af funktionen(2x+1)^3.

Øvelse 2: Ubegrænset integral med trigonometrisk funktion

Bestem integralet:

∫ x*sin(x^2) dx

I dette eksempel har vi en sammensat funktion, som indeholder en trigonometrisk funktion. Vi kan bruge integration ved substitution til at løse integralet.

Ladu = x^2ogdu = 2x dx. Vi skal også erstattexmedsqrt(u), da det er den inverse funktion afu = x^2.

Ved at erstatte variablen og differentialelementet får vi:

∫ (1/2) sqrt(u) sin(u) du

Vi kan nu bruge trigonometriske identiteter til at simplificere integranden. Ved hjælp af formlensin(u) = (e^(iu) – e^(-iu))/(2i)kan vi omskrive integralet:

(1/2) (1/2i) (∫ sqrt(u) e^(iu) du – ∫ sqrt(u) e^(-iu) du)

Vi kan nu integrere begge led individuelt:

(1/4i) (∫ sqrt(u) e^(iu) du – ∫ sqrt(u) e^(-iu) du)

Ved at anvende integration ved substitution igen og bruge formlen∫ e^(ax) dx = (1/a) e^(ax), får vi:

(1/4i) ((1/2) u^(3/2) e^(iu) + (1/2) u^(3/2) e^(-iu)) + C

Ved at erstatteumedx^2får vi det endelige resultat:

(1/8i) (x^3 sqrt(x^2) e^(ix^2) + x^3 sqrt(x^2) e^(-ix^2)) + C

Dette er det ubegrænsede integral af funktionenx*sin(x^2).

Konklusion

Integration ved substitution er en nyttig metode til at løse integralet af komplekse funktioner. Ved at erstatte variablen kan vi omskrive integralet til et nyt integral, som er lettere at beregne. I denne artikel har vi udforsket integration ved substitution og præsenteret nogle eksempler på praksisøvelser. Vi håber, at dette har hjulpet dig med at forstå og mestre denne vigtige teknik inden for differentialregning og integralregning.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er integration ved dele?

Integration ved dele er en teknik inden for differentialregning, der bruges til at finde bestemte eller ubestemte integraler. Den involverer opdeling af et integral med produktreglen for differentiation i differentialreglen, hvilket gør det muligt at foretage en mere simpel integration.

Hvordan udføres integration ved dele?

For at udføre integration ved dele skal man bruge formlen ∫u dv = uv – ∫v du, hvor u og v er funktioner. Først skal man vælge u og dv, og derefter differentiere u for at finde du og integrere dv for at finde v. Derefter kan man bruge formlen til at evaluere integralet.

Hvordan vælges u og dv i integration ved dele?

Når man vælger u og dv i integration ved dele, er det vigtigt at vælge u sådan, at differentiering af u vil resultere i en simplere funktion og at dv kan integreres relativt nemt. Typiske valg af u inkluderer polynomier, eksponentialfunktioner, trigonometriske funktioner og logaritmiske funktioner.

Hvad er produktreglen?

Produktreglen er en regel inden for differentialregning, som bruges til at differentiere produkter af to funktioner. Produktreglen siger, at hvis f(x) = u(x)v(x), hvor u(x) og v(x) er funktioner af x, så er f(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x). Denne regel er grundlæggende for integration ved dele.

Hvad er en typisk metode til at løse integration ved dele?

En typisk metode til at løse integration ved dele er at gentage processen med integration ved dele ved hjælp af formlen ∫u dv = uv – ∫v du, indtil en simplere form af integralet opnås. Dette kaldes ofte for gentagen integration ved dele.

Hvornår er integration ved dele nyttigt?

Integration ved dele er nyttigt, når man har et integral, hvor produktet af to funktioner ikke kan integreres direkte. Ved at anvende integration ved dele, kan man opnå en simpel og løselig form af integralet. Det er særligt nyttigt i komplekse matematiske beregninger og i opgaver, hvor andre metoder ikke er effektive.

Hvilke andre metoder kan bruges til at finde integraler?

Ud over integration ved dele kan forskellige metoder bruges til at finde integraler. Dette inkluderer substitution, partielt brøkopdeling, trigonometriske substitutioner, geometriske metoder som arealunder kurver og numeriske metoder som numerisk integration. Valg af metode afhænger af integralets form og kompleksitet.

Hvad er formlen for integration ved dele?

Formlen for integration ved dele er ∫u dv = uv – ∫v du, hvor u og v er funktioner af variablen. Denne formel giver en metode til at finde integralet af et produkt af to funktioner ved hjælp af differentiation og integration.

Hvad er formålet med integration ved dele problems?

Formålet med integration ved dele problems er at give studerende muligheden for at øve sig på anvendelsen af integration ved dele metoden i forskellige kontekster. Disse øvelser hjælper med at udvikle forståelse og færdigheder i at løse komplekse integrationsspørgsmål og styrke den matematiske evne.

Hvilke ressourcer findes der til at øve integration ved dele?

Der findes mange ressourcer til at øve integration ved dele, herunder matematiske lærebøger, online matematiske ressourcer, øvelsesopgaver og integrationslister. Disse ressourcer giver mulighed for praktisk træning og eksempler på at anvende integration ved dele i forskellige problemer.

Andre populære artikler: Relationen mellem elektrisk felt og elektriske ladninger • The Presidency of George W. Bush • Einsteins photoelektriske ligning • Indledning • Indus Valley civilization (praksis) • Reflective symmetri af to-dimensionelle former (practice) • ACTIVITY: Claim Testing – The Big Bang • Introduktion til Frame-konceptet • Worked example: at finde en Riemann sum ved brug af en tabel • Rewriting decimals as fractions: 0.36 • Division ved hjælp af positionssystemet • Human capital: Et dybdegående kig på begrebet inden for økonomi • One gene, one enzyme | Beadle and Tatum • Interpreter kvadratiske modeller: Faktoriseret form • Palette of King Narmer – Et kunstværk med stor historisk betydning • Functional Groups: En oversigt over kulhydratets biologi • Robert Rauschenberg, Signs • Cross produkt introduktion (formel) | Vektorer • Points på det koordinatplan • Rise of Julius Caesar