Gram-Schmidt eksempel med 3 basisvektorer

Gram-Schmidt processen er en metode inden for lineær algebra, der kan bruges til at konstruere en ortogonal eller orthonormal basis ud fra en given basisvektor. Denne proces er nyttig inden for mange forskellige matematiske discipliner, herunder vektorrum, lineære transformationer og indre produkt rum.

Introduktion til Gram-Schmidt processen

Gram-Schmidt processen er opkaldt efter de to matematikere Jørgen Pedersen Gram og Erhard Schmidt, der uafhængigt af hinanden introducerede metoden i begyndelsen af det 20. århundrede. Processen er et vigtigt værktøj inden for lineær algebra og bruges til at udlede en ortogonal eller orthonormal basis ud fra en given basisvektor.

I dette eksempel vil vi se på, hvordan Gram-Schmidt processen kan anvendes på en samling af tre basisvektorer i det tredimensionelle rum. Ved at følge processen trin for trin kan vi opnå en ny basisvektor, der er ortogonal eller orthonormal til de oprindelige vektorer.

Gram-Schmidt processen med 3 basisvektorer

Lad os antage, at vi har tre basisvektorer – v₁, v₂og v₃. Formålet med Gram-Schmidt processen er at konstruere en ny sæt vektorer – u₁, u₂og u₃– der er enten ortogonale eller orthonormale til hinanden.

Trin 1: Konstruktion af u₁

Første trin i Gram-Schmidt processen er at opnå den første ortogonale eller orthonormale basisvektor, u₁. Da dette er den første vektor, er der ingen tidligere vektorer at tage hensyn til, så u₁vil være lig med v₁.

Derfor har vi:

u₁= v₁

Trin 2: Konstruktion af u₂

Næste trin er at konstruere den anden ortogonale eller orthonormale basisvektor, u₂. For at opnå dette skal vi gøre v₂ortogonal eller orthonormal til u₁. Dette kan gøres ved at trække projektionen af v₂på u₁fra v₂.

Vi kan beregne projektionen af v₂på u₁ved at anvende følgende formel:

proj_u₁(v₂) = ((v₂· u₁) / (u₁· u₁)) * u₁

Her er · dot-produktet mellem to vektorer og / er division. I tilfælde af at u₁er unitær, kan formel forenkles til:

proj_u₁(v₂) = (v₂· u₁) * u₁

Derefter kan vi finde u₂ved at trække projektionen fra v₂:

u₂= v₂– proj_u₁(v₂)

Vi har nu konstrueret den anden basisvektor som enten ortogonal eller orthonormal til u₁:

u₂= v₂– ((v₂· u₁) / (u₁· u₁)) * u₁

Trin 3: Konstruktion af u₃

Endelig skal vi konstruere den tredje ortogonale eller orthonormale basisvektor, u₃. Vi gentager processen fra trin 2, hvor projektionen af v₃på både u₁og u₂trækkes fra v₃.

Vi kan beregne projektionen af v₃på u₁og u₂ved hjælp af samme formel som før:

proj_u₁(v₃) = ((v₃· u₁) / (u₁· u₁)) * u₁

proj_u₂(v₃) = ((v₃· u₂) / (u₂· u₂)) * u₂

Derefter kan vi finde u₃ved at trække projektionerne fra v₃:

u₃= v₃– proj_u₁(v₃) – proj_u₂(v₃)

Vi har nu konstrueret den tredje basisvektor som enten ortogonal eller orthonormal til både u₁og u₂:

u₃= v₃– ((v₃· u₁) / (u₁· u₁)) * u₁– ((v₃· u₂) / (u₂· u₂)) * u₂

Afsluttende bemærkninger

Når vi har fulgt Gram-Schmidt processen med de tre basisvektorer, har vi konstrueret en ny sæt vektorer – u₁, u₂og u₃– der er enten ortogonale eller orthonormale til hinanden.

Denne proces kan gentages for en hvilken som helst samling af basisvektorer, og den resulterende ortogonal eller orthonormale basis er nyttig i mange matematiske anvendelser.

For yderligere hjælp til beregning af en ortogonal eller orthonormal basis, kan du benytte dig af online værktøjer som en orthonormal basis calculator eller en orthogonal basis calculator. Disse værktøjer kan let beregne de ønskede basisvektorer ud fra en given indgang af basisvektorer.

Gram-Schmidt processen er en nødvendig teknik inden for lineær algebra og udvider vores forståelse af vektorrum og lineære transformationer. Ved at anvende denne proces kan vi konstruere en ortogonal eller orthonormal basis, der har mange anvendelser inden for matematik og videnskab.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er Gram-Schmidt processen?

Gram-Schmidt processen er en metode inden for lineær algebra, der tager en sætning af lineært uafhængige vektorer som input og genererer en orthonormal basis for det samme vektorrum som output. Processen involverer at ortogonalisere vektorerne ved at projicere dem på tidligere ortogonale vektorer og derefter normalisere dem. Resultatet er en ny basis, hvor vektorerne er indbyrdes ortogonale og har længden 1.

Hvordan fungerer Gram-Schmidt-processen med 3 basisvektorer?

Når vi anvender Gram-Schmidt-processen på 3 basisvektorer, starter vi med den første vektor og normaliserer den ved at dividere den med dens længde. Derefter tager vi den anden vektor og trækker dens projektion på den første vektor fra. Dette giver os en vektor, der er ortogonal på den første vektor. Vi normaliserer denne vektor ved at dividere den med dens længde. Til sidst tager vi den tredje vektor og trækker dens projektioner på både den første og den anden vektor fra. Dette giver os en tredje vektor, der er ortogonal på de to første. Vi normaliserer denne vektor, og vores resultat er en orthonormal basis bestående af de tre vektorer.

Hvordan kan man finde en ortogonal basis ved hjælp af Gram-Schmidt-processen?

For at finde en ortogonal basis ved hjælp af Gram-Schmidt-processen, starter man med en sætning af lineært uafhængige vektorer. Først vælges den første vektor som basisvektor. Derefter tages den næste vektor i sætningen og projektioneres på basisvektoren for at få en ortogonal vektor. Denne ortogonale vektor bliver den anden basisvektor. Dernæst tages den tredje vektor og projiceres både på den første og den anden basisvektor for at få to ortogonale vektorer. Disse to vektorer bliver henholdsvis den tredje og fjerde basisvektor, og processen fortsætter indtil alle vektorer er blevet brugt. Resultatet er en ortogonal basis.

Hvorfor er det vigtigt at have en orthonormal basis?

Det er vigtigt at have en orthonormal basis, fordi den gør det lettere at arbejde med vektorer inden for et vektorrum. En orthonormal basis gør det nemt at finde koordinaterne for en vektor ved hjælp af indre produkter. Den tillader også en nem beregning af afstande, vinkler og projektioner af vektorer. Udover dette er en orthonormal basis nyttig inden for mange anvendelsesområder inden for matematik og fysik, herunder lineær algebra, kvantemekanik og signalbehandling.

Hvordan beregner man en orthonormal basis?

En orthonormal basis kan beregnes ved at følge Gram-Schmidt-processen. Start med en sætning af lineært uafhængige vektorer. Vælg den første vektor som basisvektor. Tag den næste vektor i sætningen og træk dens projektion på basisvektoren fra. Normaliser denne vektor ved at dividere den med dens længde. Gentag processen med de resterende vektorer for at få en sætning af orthonormale vektorer, der udgør den ønskede orthonormale basis.

Hvad er forskellen mellem en ortogonal og en orthonormal basis?

Forskellen mellem en ortogonal og en orthonormal basis er, at en ortogonal basis består af vektorer, der er indbyrdes ortogonale, mens en orthonormal basis består af vektorer, der er indbyrdes ortogonale og har længden 1. I en ortogonal basis kan vektorerne have en vilkårlig længde, mens vektorerne i en orthonormal basis har længden 1, hvilket gør dem normerede.

Hvordan kan man anvende Gram-Schmidt-processen i praksis?

Gram-Schmidt-processen kan anvendes i praksis i forskellige sammenhænge inden for lineær algebra og anvendte matematik. Den kan bruges til at konstruere ortonormale baser for vektorrum, hvilket kan være nyttigt i beregninger af vektorer, lineære ligningssystemer, vektorprojektioner og transformationer. Den kan også bruges i kvantemekanik til at finde en orthonormal basis for kvantesystemer og bestemme sannsynlighetsfordelinger og egenværdier af operatorer.

Kan Gram-Schmidt-processen bruges til at finde en basis for et undervektorrum?

Ja, Gram-Schmidt-processen kan bruges til at finde en basis for et undervektorrum. Ved at anvende processen på en sætning af lineært uafhængige vektorer, der genererer undervektorrummet, kan man konstruere en ortogonal eller orthonormal basis, der udspænder det samme undervektorrum. Dette gør det lettere at arbejde med og analysere vektorrummet og dets undervektorrum.

Er Gram-Schmidt-processen altid mulig at anvende?

Ja, Gram-Schmidt-processen kan altid anvendes, så længe de indledende vektorer i sætningen er lineært uafhængige. Processen omdanner en vilkårlig sætning af lineært uafhængige vektorer til en ortogonal eller orthonormal basis, uanset dimensionen af vektorrummet. Det er vigtigt at bemærke, at hvis sætningen af vektorer er lineært afhængige, vil nogle af de genererede vektorer være nulvektorer, og processen vil ikke fungere korrekt.

Kan Gram-Schmidt-processen bruges til at finde en orthogonal basis for et matematisk objekt i højere dimensioner?

Ja, Gram-Schmidt-processen kan bruges til at finde en orthogonal basis for et matematisk objekt i højere dimensioner. Processen kan anvendes på sætninger af vektorer i ethvert vektorrum med en endelig dimension. Ved at anvende processen på de indledende vektorer kan man generere en ortogonal basis for objektet, der gør det nemmere at arbejde med og analysere i højere dimensioner.

Andre populære artikler: Potenser af brøker • Chesapeake- og Southern-kolonierne: En dybdegående analyse • The structure of costs in the long run • Atom vs. Element: Hvad er forskellen, og hvordan er de relateret? • Modern Physics (Essentials) – Class 12th | Science • The 15th Amendment | Reconstruction • Adding with arrays (practice) • Partial sums – en dybdegående forståelse • Extraktion af metaller – Oversigt • Estimering ved addition af flercifrede tal • Gasser og kinetisk molekylær teori • Lessons | LSAT | Test prep • Identificering af funktionelle grupper • Tetrahedral bindningsvinkelbevis • Getting started with Reading Comprehension • Work som energioverførsel • Introduktion til den føderale bureaukrati • Performing transformations | High school geometry | Math • Worked example: potensrække fra cos(x) • Normalvarer vs. ringere varer