First order homogene differentialligninger

En differentialligning er en matematisk ligning, der involverer en funktion og dens afledede. En homogen differentialligning er en særlig type differentialligning, hvor alle led indeholder funktionen og dens afledede. I denne artikel vil vi se nærmere på, hvordan man løser first order homogene differentialligninger.

Hvad er en first order homogen differentialligning?

En first order homogen differentialligning har følgende generelle form:

$$frac{dy}{dx} = fleft(frac{y}{x}right)$$

Her er $y$ en funktion af $x$, og $fleft(frac{y}{x}right)$ er en vilkårlig funktion af forholdet mellem $y$ og $x$. For at løse denne type differentialligning skal vi bruge en substitutionsmetode.

Løsningsmetode

En almindelig substitutionsmetode til at løse first order homogene differentialligninger er at bruge $v = frac{y}{x}$ som en ny variabel. Vi differentierer denne substitutionsvariabel med hensyn til $x$:

$$frac{dv}{dx} = frac{1}{x}frac{dy}{dx} – frac{y}{x^2}$$

Vi kan nu erstatte udtrykket $frac{dy}{dx}$ i differentialligningen med $frac{x}{y}frac{dv}{dx}$:

$$frac{x}{y}frac{dv}{dx} = f(v)$$

Vi kan nu omskrive differentialligningen til en separabel ligning ved at flytte variablerne til hver side af lighedstegnet:

$$frac{1}{x}dx = frac{1}{y}dy$$

Nu integrerer vi begge sider og ender op med:

$$ln|x| = int f(v)dv + C$$

Her er $C$ en integrationskonstant. Vi kan tage eksponentialfunktionen på begge sider af lighedstegnet for at fjerne logaritmen:

$$|x| = e^{int f(v)dv + C}$$

Vi kan nu skrive konstanten $C$ som $e^C$, da $e^C$ er en vilkårlig konstant. Giver det:

$$|x| = C cdot e^{int f(v)dv}$$

Da $|x|$ altid er positiv, kan vi fjerne absolutværdien:

$$x = C cdot e^{int f(v)dv}$$

Her erstattede vi $|x|$ med $x$, da $x$ altid vil være positiv i dette tilfælde.

Eksempel

Lad os se på et eksempel for at illustrere løsningsmetoden. Lad differentialligningen være:

$$frac{dy}{dx} = frac{2y}{x}$$

Vi bruger substitutionsmetoden ved at erstatte $v = frac{y}{x}$. Vi differentierer $v$ med hensyn til $x$:

$$frac{dv}{dx} = frac{1}{x}frac{dy}{dx} – frac{y}{x^2}$$

Erstat $frac{dy}{dx}$ med $frac{x}{y}frac{dv}{dx}$ og sæt det ind i differentialligningen. Vi får:

$$frac{x}{y}frac{dv}{dx} = frac{2y}{x}$$

Vi kan nu omskrive denne ligning til en separabel ligning:

$$frac{1}{x}dx = frac{2}{y}dv$$

Vi integrerer begge sider:

$$ln|x| = 2ln|v| + C$$

Fjern logaritmen ved at tage eksponentialfunktionen af begge sider:

$$|x| = e^{2ln|v| + C}$$

Forenkler vi dette, får vi:

$$x = |v|^2 cdot e^C$$

Siden $v = frac{y}{x}$, kan vi erstatte $v$ med $frac{y}{x}$:

$$x = left|frac{y}{x}right|^2 cdot e^C$$

Og dette bliver til:

$$x = frac{y^2}{x^2} cdot e^C$$

Ved yderligere manipulation får vi:

$$x^3 = ye^C$$

Her har vi løst differentialligningen.

Konklusion

First order homogene differentialligninger er en særlig type differentialligninger, hvor alle led indeholder funktionen og dens afledede. Ved hjælp af substitutionsmetoden kan vi løse denne type differentialligning ved at erstatte $v = frac{y}{x}$ som en ny variabel. Ved at omskrive differentialligningen til en separabel ligning og integrere begge sider kan vi finde den generelle løsning. Herefter kan vi forenkle udtrykket ved at erstatte variablene igen og manipulere ligningen.

Det er vigtigt at bemærke, at den specificerede løsning til differentialligningen kan variere afhængigt af grænsebetingelserne eller et specifikt problem. Den generelle løsning beskriver alle mulige løsninger.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er en første orden homogen differentialligning?

En første orden homogen differentialligning er en ligning, hvor den ukendte funktion og dens afledede forekommer i første potens og i samme ligning ingen konstantled indgår.

Hvad er en homogen differentialligning?

En homogen differentialligning er en ligning, hvor den ukendte funktion og dens afledede forekommer i samme ligning, og alle led i ligningen kan skrives som en funktion af den ukendte funktion.

Hvordan kan man løse en første orden homogen differentialligning?

For at løse en første orden homogen differentialligning kan man anvende metoden med variabel separation, hvor man separerer variablerne og integrerer begge sider af ligningen.

Hvad er variabel separation?

Variabel separation er en metode til at løse differentialligninger, hvor man isolerer de variable på hver side af ligningen og integrerer begge sider.

Hvad er den generelle løsning til en første orden homogen differentialligning?

Den generelle løsning til en første orden homogen differentialligning vil afhænge af den specifikke ligning, men det vil normalt være en ligning på formen f(x) = Ce^(kx), hvor C er en arbitrær konstant og k er en konstant.

Hvad er en partikulær løsning til en homogen differentialligning?

En partikulær løsning til en homogen differentialligning er en løsning, der opfylder den homogene differentialligning og eventuelle randbetingelser, og som kan bruges til at bestemme den generelle løsning ved at tilføje den til den homogene løsning.

Hvad er forskellen mellem en homogen og en inhomogen differentialligning?

Forskellen mellem en homogen og en inhomogen differentialligning ligger i tilstedeværelsen af et konstantled eller en inhomogenitet. I en homogen differentialligning er alle led i ligningen en funktion af den ukendte funktion og dens afledede, mens en inhomogen differentialligning har et konstantled eller en inhomogenitet, som ikke kan skrives som en funktion af den ukendte funktion.

Hvordan kan man identificere en første orden homogen differentialligning?

For at identificere om en differentialligning er første orden homogen, skal man undersøge om den ukendte funktion og dens afledede forekommer i første potens og om der indgår nogen konstantled i ligningen.

Hvordan kan man bestemme en partikulær løsning til en homogen differentialligning?

For at bestemme en partikulær løsning til en homogen differentialligning skal man evaluere den ukendte funktion og dens afledede i de givne randbetingelser og løse ligningen for de konstante værdier i ligningen.

Kan en første orden homogen differentialligning have flere partikulære løsninger?

Nej, en første orden homogen differentialligning har normalt kun én partikulær løsning, der opfylder de givne randbetingelser. Der kan dog være tilfælde, hvor en differentialligning har flere partikulære løsninger, men det er mere sjældent.

Andre populære artikler: Legalism – En dybdegående artikel om den kinesiske filosofi • Review af parallelle og vinkelrette linjer • The SAT Writing and Language Test: Hvad du kan forvente • Calculating binomial probability (practice) • Historien om Det Republikanske Parti • Unit circle med radianer (øvelse) • Fortolkning af kvartiler (øvelse) • Rent vs. køb analyse: En dybdegående gennemgang • Elektrisk feltdefinition • Bhimbetka-hulemalerierne – En dybdegående undersøgelse af Indiens præhistoriske kunst • Phishing attacks | Cyber attacks • RC Natural Response – Intuition • Evolution | Class 12 Biology (India) | Science • Allierede styrker rykker frem i Europa og tager vigtige territorier • Polynomier introduktion • Dividere polynomier med monomer (med rest) • Matrix Addition – Hvordan man tilføjer matricer og beregner værdierne • Multiplicering af binomer – En gennemgang • Titian, to portrætter af Pietro Aretino • Perpendikulære linjer ud fra ligning | Analytisk geometri