Finding definite integrals using area formulas

Dette er en dybdegående artikel om anvendelsen af arealformler til at finde bestemte integraler. I matematik beskriver et bestemt integral arealet under en kurve mellem to punkter på den vandrette akse. At kunne udregne bestemte integraler har mange anvendelser i videnskab, teknik og økonomi, og det er derfor en vigtig færdighed at have for studerende og professionelle inden for disse områder.

Introduktion

Bestemte integraler er afgørende for at beregne arealer og volumina, finde gennemsnit, bestemme evnen til væskestrøm samt løse differential- og integralekvationer. De kan også bruges til at beskrive sandsynlighed i statistik og mange andre områder af matematikken.

Formler til bestemt integral

Der er flere metoder til at finde bestemte integraler, men en af de mest anvendte er at bruge arealet under kurven. Formlen for dette er:

∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)

Hvor f(x) er funktionen, og F(x) er en anti-afledt af f(x), også kendt som en primitiv af f(x).

Uddybning af arealet under en kurve

Når vi taler om arealet under en kurve, hentyder vi til det rum, som er begrænset af kurven, x-aksen og de lodrette linjer, der repræsenterer x-værdierne a og b. Dette område kaldes også for området mellem kurven og x-aksen over intervallet [a, b].

For at finde arealet under kurven over intervallet [a, b], kan vi opdele dette interval i mindre dele ved hjælp af vertikale linjer og tilnærme området mellem kurven og x-aksen som rektangler. Jo mindre rektanglerne er, jo tættere er vores tilnærmelse på det faktiske areal.

Trapezmetoden

En tilnærmelse til arealet under kurven kan udføres ved hjælp af trapezer i stedet for rektangler. Denne metode kaldes trapezmetoden og baserer sig på den idé, at trapezer er en bedre tilnærmelse til området mellem kurven og x-aksen end rektangler. For at bruge trapezmetoden skal vi opdele intervallet [a, b] i mindre dele og beregne arealet af hvert trapez. Summen af disse arealet vil give os en tilnærmelse af arealet under kurven.

Regneeksempel

Lad os antage, at vi ønsker at finde arealet under funktionen f(x) = x² mellem x = 1 og x = 3.

Vi kan opdele intervallet [1,3] i mindre dele og anvende trapezmetoden til at beregne arealet af hvert trapez. Lad os sige, at vi opdeler intervallet i tre dele:

Trin 1: Bestem bredden af hvert trapez ved at tage forskellen mellem de tilsvarende x-værdier. I dette tilfælde er bredden (b – a) / n, hvor n er antallet af delintervaller. Det vil sige, bredden er (3 – 1) / 3 = 0,67.

Trin 2: Beregn højden af hvert trapez ved at anvende funktionen f(x). I vores tilfælde er højden f(x) = x².

Trin 3: Beregn arealet af hvert trapez ved at bruge formlen for arealet af en trapez: A = 0,5 * (a + b) * h. I vores tilfælde er arealet A = 0,5 * (0,67 + 0,67) * (1² + 1 + 1 + 2² + 2 + 2 + 3²).

Trin 4: Sæt arealet for hvert trapez sammen ved at summere dem. I vores tilfælde er summen af arealet lig med A₁ + A₂ + A₃.

Til sidst kan vi få en tilnærmelse af arealet under kurven ved at tilføje arealet af hvert trapez sammen: A = A₁ + A₂ + A₃.

Afsluttende bemærkninger

Bestemte integraler og anvendelsen af arealet under kurven er vigtige værktøjer inden for matematik og anvendt videnskab. Ved at bruge arealet under kurven kan vi finde præcise resultater og løse komplekse problemer i forskellige områder.

For at finde bestemte integraler er det vigtigt at være velbevandret i de nødvendige formler og metoder, herunder trapezmetoden. Derudover kan det være nyttigt at anvende numeriske metoder som f.eks. Riemanns summer eller Simpsons metode, hvis præcisjonen er nøglen til succes.

Nu hvor du har en god forståelse af, hvordan man finder bestemte integraler ved hjælp af arealmetoder, kan du begynde at anvende denne viden i matematik og andre discipliner. Prøv at øve dig med forskellige funktioner og intervaller for at forbedre dine færdigheder og mestre denne vigtige analysemetode.

Andre populære artikler: Momentumbevarelse – Løst eksempel • Geometry 229 | MAP Anbefalet praksis | Matematik • Hvad er liv? | Introduktion til biologi • Welcome to the Trailblazing Women unit! • Writing equations of perpendicular lines | Analytisk geometri • Mesa Verde klippeliggenheder • Money personality – din personlighed og penge • Hvad er spænding? | Spænding • Triple integraler i sfæriske koordinater • Lipid oversigt | Lipider • Growth Mindset: Vokabularienhed • Stakes | Character • The Tsiolkovsky Rocket Equation • Formula for 2×2 inverse • Liberty Leading the People af Eugène Delacroix • READ: Era 3 Oversigt • Magnetiske feltlinjer: Hvordan ser magnetiske feltlinjer ud, når to magneter frastøder hinanden? • Fractions | Arithmetic (alt indhold) | Matematik • Identificer parallelle og perpendicular linjer (praksis) • Optimering: boksens volumen (Del 1)