Arbejdet eksempel: alternerende rækker

Alternerende rækker er en type matematisk række, hvor værdierne skifter mellem positive og negative tal. Disse rækker er fascinerende, da de følger en bestemt struktur og kan konvergere mod en bestemt værdi. I denne artikel vil vi udforske alternerende rækker og se på et konkret eksempel for at forstå, hvordan de fungerer.

Hvad er en alternerende række?

En alternerende række er en matematisk række, hvor hvert element skifter mellem positive og negative værdier. Dette kan udtrykkes som en generel formel:

S = a1 – a2 + a3 – a4 + a5 – a6 + …

Hvor ai er hvert element i rækken. Bemærk, at det første element er positivt, det andet element er negativt, det tredje element er positivt, og så videre.

Betingelser for konvergens

For at en alternerende række skal konvergere, skal rækkens absolutte værdier være monoton faldende. Dette betyder, at hver efterfølgende absolutværdi skal være mindre end eller lig med den foregående. Da rækken skifter mellem positive og negative elementer, sikrer denne betingelse, at summen konvergerer mod en bestemt værdi.

Arbejdet eksempel

Lad os nu se på et konkret eksempel for at demonstrere konceptet med en alternerende række. Vi vil undersøge rækken:

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …

Vi kan se, at hver efterfølgende absolutværdi bliver mindre og mindre, og derfor opfylder betingelsen for konvergens.

Trin 1: Kig på de første par termer

Vi starter med at se på de første par termer:

S2 = 1 – 1/2 = 1/2

Trin 2: Tilføj det næste element

Nu tilføjer vi det næste element til vores foreløbige sum:

S3 = 1/2 + 1/3

Vi kan se, at summen er tættere på 1/2 i forhold til vores foreløbige sum.

Trin 3: Fortsæt med at tilføje elementer

Vi fortsætter med at tilføje elementer for at få en mere præcis sum:

S4 = 1/2 + 1/3 – 1/4

S5 = 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5

Vi kan fortsætte med denne proces for at få en stadig mere præcis sum. Hver gang vi tilføjer et element, bliver summen tættere på en bestemt værdi.

Konklusion

Alternerende rækker kan være komplekse, men de følger en bestemt struktur og kan konvergere mod en bestemt værdi. I vores arbejdede eksempel så vi, hvordan en alternerende række kan nærme sig en bestemt sum ved at tilføje flere elementer. Dette er et grundlæggende eksempel, og alternerende rækker kan have forskellige mønstre og egenskaber. Ved at forstå grundprincipperne for alternerende rækker kan vi anvende dem til mere komplekse problemstillinger inden for matematik og videnskab.

Andre populære artikler: Regnskabsaflæggelse og finansielle rapporter på Khan Academy • Yaxchilán—Lintels 24: En dybdegående undersøgelse af kunsthistorien • Introduktion • The idea of division • Proof of the constant derivative rule • Classify polynomier baseret på termer (øvelse) • Two-way tables, Venn diagrams og sandsynlighed (øvelse) • Open primaries, closed primaries og blanket primaries • Common ancestry og evolutionære træer • Regulering af blodtryk med baroreceptorer • Formal charge • Sandsynlighed med permutationer og kombinationer (øvelse) • Subtraktion uden lån (øvelse) • Weak acid – strong base reaktioner • En dybdegående gennemgang af grundlæggende cellestukturer • Non-inverting op-amp | Forstærkere • Spektroskopi: Interaktionen mellem lys og materie • Introduktion • Determinanten af en 4×4 matrix • Reading bar graphs